21.6 :  Представление в пространстве состояний

Метод частотного домена, обычно используемый при анализе и проектировании систем управления с обратной связью, эффективен для линейных, не зависящих от времени систем. Однако, он не справляется с нелинейными, изменяющимися во времени и многовходными-многовыходными системами. Подход во временном домене или пространстве состояний устраняет эти ограничения, используя переменные состояния для построения одновременных дифференциальных уравнений первого порядка, известных как уравнения состояния, для системы n-го порядка.

Рассмотрим схему RLC, обычную систему второго порядка. Для анализа этой схемы с использованием подхода в пространстве состояний необходимы два одновременных дифференциальных уравнения первого порядка. Переменные состояния в этом контексте выводятся из величин, дифференцированных в производных уравнениях, связанных с элементами накопления энергии, в частности, с катушкой индуктивности и конденсатором.

Для формулировки уравнений состояния используются законы напряжения и тока Кирхгофа. Закон напряжения Кирхгофа (KVL) гласит, что все разности электрических потенциалов вокруг контура равны нулю, в то время как закон тока Кирхгофа (KCL) утверждает, что сумма токов, входящих в соединение, равна сумме токов, выходящих из него. Эти законы позволяют выражать переменные, не являющиеся переменными состояния, как линейные комбинации переменных состояния и входных данных.

В цепи RLC переменными состояния являются напряжение на конденсаторе VC и ток через катушку индуктивности iL. Законы Кирхгофа выражают ток резистора и другие переменные в терминах переменных состояния VC и iL. Затем эти выражения подставляются обратно в исходные дифференциальные уравнения цепи.

После вывода уравнений состояния последний шаг — представить эти уравнения в векторно-матричной форме, достигая представления в пространстве состояний. Для схемы RLC это может включать определение вектора состояния x, входного вектора u, выходного вектора y и матриц A, B, C и D, таких что:

Это представление необходимо для анализа динамического поведения системы и разработки соответствующих стратегий управления.

Подводя итог, можно сказать, что подход пространства состояний обеспечивает надежную структуру для обработки сложных систем, выходящую за рамки возможностей методов частотного домена за счет учета нелинейностей, временных изменений и множественных входов и выходов.