Die Frequenzbereichstechnik, die häufig bei der Analyse und Entwicklung von Rückkopplungssystemen verwendet wird, ist für lineare, zeitinvariante Systeme effektiv. Sie ist jedoch bei nichtlinearen, zeitabhängigen Systemen und Systemen mit mehreren Eingängen und mehreren Ausgängen unzureichend. Das Zeitbereichs- oder Zustandsraummodell behebt diese Einschränkungen, indem er Zustandsvariablen verwendet, um simultane Differentialgleichungen erster Ordnung, sogenannte Zustandsgleichungen, für ein System n-ter Ordnung zu konstruieren.

Betrachten Sie einen RLC-Schaltkreis, ein übliches System zweiter Ordnung. Um diesen Schaltkreis mit dem Zustandsraumansatz zu analysieren, sind zwei simultane Differentialgleichungen erster Ordnung erforderlich. Die Zustandsvariablen in diesem Zusammenhang werden aus den in den Ableitungsgleichungen differenzierten Größen abgeleitet, die mit den Energiespeicherelementen, insbesondere der Induktivität und dem Kondensator, verbunden sind.

Kirchhoffs Spannungs- und Stromgesetze werden verwendet, um die Zustandsgleichungen zu formulieren. Kirchhoffs Spannungsgesetz (KVL) besagt, dass alle elektrischen Potentialunterschiede in einer Masche Null sind, während Kirchhoffs Stromgesetz (KCL) besagt, dass die Summe der Ströme, die in einen Knoten eintreten, gleich der Summe der Ströme ist, die ihn verlassen. Diese Gesetze ermöglichen den Ausdruck von Nichtzustandsvariablen als lineare Kombinationen von Zustandsvariablen und Eingängen.

In einem RLC-Schaltkreis sind die Zustandsvariablen die Spannung über dem Kondensator VC und der Strom durch die Induktivität iL. Kirchhoffs Gesetze drücken den Widerstandsstrom und andere Nichtzustandsvariablen in Bezug auf VC und iL aus. Diese Ausdrücke werden dann wieder in die ursprünglichen Differentialgleichungen des Schaltkreises eingesetzt.

Nach der Herleitung der Zustandsgleichungen besteht der letzte Schritt darin, diese Gleichungen in Form einer Vektormatrix darzustellen, wodurch die Zustandsraumdarstellung erreicht wird. Bei einer RLC-Schaltung könnte dies bedeuten, den Zustandsvektor x, den Eingangsvektor u, den Ausgangsvektor y und die Matrizen A, B, C und D so zu definieren, dass:

Diese Darstellung ist für die Analyse des dynamischen Verhaltens des Systems und die Entwicklung geeigneter Steuerungsstrategien unerlässlich.

Zusammenfassend bietet das Zustandsraummodell einen robusten Rahmen für die Handhabung komplexer Systeme, der über die Fähigkeiten von Frequenzbereichstechniken hinausgeht, indem er Nichtlinearitäten, Zeitvariationen und mehrere Ein- und Ausgänge berücksichtigt.