La técnica del dominio de frecuencia, que se utiliza habitualmente para analizar y diseñar sistemas de control por retroalimentación, es eficaz para sistemas lineales e invariantes en el tiempo. Sin embargo, no es suficiente cuando se trata de sistemas no lineales, variables en el tiempo y con múltiples entradas y múltiples salidas. El enfoque del dominio del tiempo o del espacio de estados aborda estas limitaciones utilizando variables de estado para construir ecuaciones diferenciales simultáneas de primer orden, conocidas como ecuaciones de estado, para un sistema de orden n.

Consideremos un circuito RLC, un sistema común de segundo orden. Para analizar este circuito utilizando el enfoque del espacio de estados, son necesarias dos ecuaciones diferenciales simultáneas de primer orden. Las variables de estado en este contexto se derivan de las cantidades diferenciadas en las ecuaciones derivadas asociadas con los elementos de almacenamiento de energía, específicamente el inductor y el capacitor.

Se emplean las leyes de tensión y corriente de Kirchhoff para formular las ecuaciones de estado. La ley de tensión de Kirchhoff (KVL) establece que todas las diferencias de potencial eléctrico alrededor de un bucle son cero, mientras que la ley de corriente de Kirchhoff (KCL) afirma que la suma de las corrientes que ingresan a una unión es igual a la suma de las corrientes que salen. Estas leyes permiten la expresión de variables no estatales como combinaciones lineales de variables de estado y entradas.

En un circuito RLC, las variables de estado son el voltaje a través del capacitor VC y la corriente a través del inductor iL. Las leyes de Kirchhoff expresan la corriente del resistor y otras variables no estatales en términos de VC e iL. Luego, estas expresiones se sustituyen nuevamente en las ecuaciones diferenciales originales del circuito.

Después de derivar las ecuaciones de estado, el paso final es representarlas en forma de matriz vectorial, logrando la representación en el espacio de estados. En el caso de un circuito RLC, esto podría implicar definir el vector de estado x, el vector de entrada u, el vector de salida y y las matrices A, B, C y D de manera que:

Esta representación es esencial para analizar el comportamiento dinámico del sistema y diseñar estrategias de control adecuadas.

En resumen, el enfoque de espacio de estados proporciona un marco sólido para manejar sistemas complejos, que se extiende más allá de las capacidades de las técnicas de dominio de frecuencia al acomodar no linealidades, variaciones de tiempo y múltiples entradas y salidas.