La technique du domaine fréquentiel, couramment utilisée dans l’analyse et la conception de systèmes de commande par rétroaction, est efficace pour les systèmes linéaires invariants dans le temps. Cependant, elle est insuffisante lorsqu’il s’agit de systèmes non linéaires, variables dans le temps et à entrées et sorties multiples. L’approche du domaine temporel ou de l’espace-état permet de remédier à ces limitations en utilisant des variables d’état pour construire des équations différentielles simultanées du premier ordre, appelées équations d’état, pour un système d’ordre n.

Prenons un circuit RLC, un système courant du second ordre. Pour analyser ce circuit à l’aide de l’approche de l’espace-état, deux équations différentielles simultanées du premier ordre sont nécessaires. Les variables d’état, dans ce contexte, sont dérivées des quantités différenciées dans les équations dérivées associées aux éléments de stockage d’énergie, en particulier l’inducteur et le condensateur.

Les lois de tension et de courant de Kirchhoff sont utilisées pour formuler les équations d’état. La loi de tension de Kirchhoff (KVL) stipule que toutes les différences de potentiel électrique autour d'une boucle sont nulles, tandis que la loi de courant de Kirchhoff (KCL) affirme que la somme des courants entrant dans une jonction est égale à la somme des courants qui en sortent. Ces lois permettent d’exprimer les variables qui ne caractérisent pas un état comme des combinaisons linéaires de variables d'état et d'entrées.

Dans un circuit RLC, les variables d'état sont la tension aux bornes du condensateur VC et le courant à travers l'inducteur iL. Les lois de Kirchhoff expriment le courant de résistance et d'autres variables, qui ne sont pas des variables d’état, en termes de VC et iL. Ces expressions sont ensuite remplacées dans les équations différentielles d'origine du circuit.

Après avoir déterminé les équations d'état, l'étape finale consiste à représenter ces équations sous forme de matrice vectorielle, ce qui permet d’obtenir la représentation de l'espace-état. Pour un circuit RLC, cela peut impliquer de définir le vecteur d'état x, le vecteur d'entrée u, le vecteur de sortie y et les matrices A, B, C et D de telle sorte que :

Cette représentation est essentielle pour analyser le comportement dynamique du système et concevoir des stratégies de contrôle appropriées.

En résumé, l'approche de l'espace-état fournit un cadre robuste pour la gestion de systèmes complexes, allant au-delà des capacités des techniques dans le domaine fréquentiel en prenant en compte les non-linéarités, les variations temporelles et les entrées et sorties multiples.