22.7 : Algèbre SFG (signal flow graph)

Dans l'algèbre du graphe de flux de signaux (SFG), la valeur qu'un nœud représente est déterminée par la somme de tous les signaux entrant dans ce nœud. Cette valeur additionnée est ensuite transmise à travers chaque branche quittant le nœud, faisant du SFG un outil puissant pour visualiser et analyser les systèmes de contrôle.

Chaque nœud d'un SFG correspond à une variable et les interactions entre les nœuds sont représentées par des branches avec des gains associés. Lorsque plusieurs branches mènent à un nœud, la valeur de ce nœud est la somme des signaux de toutes les branches entrantes. Les branches sortantes transmettent ensuite cette valeur, multipliée par leurs gains respectifs, aux nœuds suivants.

Les branches parallèles qui dirigent les signaux dans la même direction peuvent être consolidées en une seule branche. Le gain de cette nouvelle branche est la somme des gains des branches parallèles d'origine. Par exemple, si deux branches avec des gains G_1 et G_2 sont parallèles, elles peuvent être remplacées par une seule branche avec un gain G=G_1+G_2.

Les branches en cascade, ou branches connectées en série, peuvent également être simplifiées. Le gain de la branche résultante est le produit des gains des branches d'origine. Par exemple, si deux branches avec des gains G_1 et G_2 sont mises en cascade, elles peuvent être remplacées par une seule branche avec un gain G=G_1×G_2.

Dans les systèmes de rétroaction, des équations algébriques spécifiques sont utilisées pour obtenir la fonction de transfert en boucle fermée. Cela implique de reconnaître la boucle de rétroaction et d'appliquer la formule appropriée pour déterminer le comportement du système. Pour convertir un schéma fonctionnel d'un système de contrôle en un SFG, procédez comme suit:

1. Identifier les variables: Chaque variable du système est associée à un nœud.
2. Nœuds d'interconnexion: dessinez des branches entre les nœuds pour représenter les relations entre les variables, en veillant à ce que la direction du flux du signal soit représentée avec précision.
3. Étiqueter les branches: attribuez le gain approprié à chaque branche, reflétant la fonction de transfert de la partie correspondante du système.

Les SFG peuvent également être déduis d'un ensemble d'équations algébriques. Ce processus comprend les étapes suivantes:

1. Identifier et créer des nœuds pour chaque variable dans les équations.
2. Connectez les nœuds en fonction des relations définies par les équations, en utilisant des branches pour représenter ces relations.
3. Affectez les gains aux branches en fonction des coefficients des équations.

En s’appuyant sur ces principes, les SFG fournissent une méthode polyvalente et intuitive pour analyser des systèmes de contrôle complexes, facilitant l’obtention des fonctions de transfert et améliorant notre compréhension de la dynamique des systèmes.