22.7 : SFG-Algebra

In der Signalflussgraph-Algebra (SFG) wird der Wert, den ein Knoten darstellt, durch die Summe aller Signale bestimmt, die in diesen Knoten eingehen. Dieser summierte Wert wird dann durch jeden Pfad übertragen, der den Knoten verlässt, was den SFG zu einem leistungsstarken Werkzeug für die Visualisierung und Analyse von Steuerungssystemen macht.

Jeder Knoten in einer SFG entspricht einer Variablen, und die Interaktionen zwischen den Knoten werden durch Pfade mit zugehörigen Verstärkungen dargestellt. Wenn mehrere Pfade in einen Knoten führen, ist der Wert an diesem Knoten die Summe der Signale aller eingehenden Pfade. Die ausgehenden Pfade übertragen dann diesen Wert, multipliziert mit ihren jeweiligen Verstärkungen, an die nachfolgenden Knoten.

Parallele Pfade, die Signale in die gleiche Richtung leiten, können zu einem einzigen Pfad zusammengefasst werden. Die Verstärkung dieses neuen Pfads ist die Summe der Verstärkungen der ursprünglichen parallelen Pfade. Wenn beispielsweise zwei Pfade mit den Verstärkungen G_1 und G_2 parallel sind, können sie durch einen einzigen Pfad mit einer Verstärkung G=G_1+G_2 ersetzt werden.

Kaskadierte Pfade oder in Reihe geschaltete Pfade können auf ähnliche Weise vereinfacht werden. Die Verstärkung des resultierenden Pfads ist das Produkt der Verstärkungen der ursprünglichen Pfade. Wenn beispielsweise zwei Pfade mit den Verstärkungen G_1 und G_2 kaskadiert werden, können sie durch einen einzigen Pfad mit einer Verstärkung G=G_1×G_2 ersetzt werden.

​In Rückkopplungssystemen werden bestimmte algebraische Gleichungen verwendet, um die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises abzuleiten. Dabei geht es darum, die Rückkopplungsschleife zu erkennen und die entsprechende Formel anzuwenden, um das Verhalten des Systems zu bestimmen. Um ein Blockdiagramm eines Steuerungssystems in eine SFG umzuwandeln, gehen Sie folgendermaßen vor:

1. Variablen identifizieren: Jede Variable im System ist einem Knoten zugeordnet.
2. Knoten verbinden: Zeichnen Sie Verzweigungen zwischen Knoten, um die Beziehungen zwischen Variablen darzustellen. Stellen Sie dabei sicher, dass die Richtung des Signalflusses genau wiedergegeben wird.
3. Pfade beschriften: Weisen Sie jedem Pfad die entsprechende Verstärkung zu, die die Übertragungsfunktion des entsprechenden Teils des Systems widerspiegelt.

SFGs können auch aus einer Reihe algebraischer Gleichungen abgeleitet werden. Dieser Prozess umfasst die folgenden Schritte:

1. Identifizieren und erstellen Sie Knoten für jede Variable in den Gleichungen.
2. Verbinden Sie die Knoten basierend auf den durch die Gleichungen definierten Beziehungen und verwenden Sie Pfade, um diese Beziehungen darzustellen.
3. Weisen Sie den Pfaden entsprechend den Koeffizienten in den Gleichungen Verstärkungen zu.

Durch die Nutzung dieser Prinzipien bieten SFGs eine vielseitige und intuitive Methode zur Analyse komplexer Steuerungssysteme, erleichtern die Ableitung von Übertragungsfunktionen und verbessern unser Verständnis der Systemdynamik.