21.2 : Elektrik Sistemleri

Elektrik mühendisliğinde, pasif doğrusal bileşenlerden — dirençler (R), kapasitörler (C) ve indüktörler (L) — oluşan ağların analizi temel alınır. Bu bileşenler, girdi ve çıktı arasındaki ilişkiyi transfer fonksiyonları kullanılarak analiz edilebilen devreler halinde düzenlenir. Bir kapasitör üzerindeki gerilimi giriş voltajıyla ilişkilendiren bir RLC devresinin transfer fonksiyonu, Kirchhoff yasaları kullanılarak türetilebilir.

Transfer fonksiyonunu türetmek için, bileşenleri seri olarak bağlanmış bir RLC devresini düşünün. Kirchhoff'un Gerilim Yasası (KVL), kapalı bir döngü boyunca tüm gerilim toplamının sıfır olduğunu belirtir. Bir RLC devresi için, bu, sıfır başlangıç koşulu varsayıldığında, aşağıdaki integral-diferansiyel denkleme dönüşür:

Burada, V(t) giriş voltajıdır, VR(t)=i(t)R dirençteki gerilimdir, VC(t) = q(t)/C kapasitördeki gerilimdir, burada q(t) kapasitördeki yüktür ve VL(t) = Ldi(t)/dt indüktördeki gerilimdir.

Akım i(t) ile yük q(t) ile ilişkilidir: i(t)= dq(t)/dt. Bu ilişkileri KVL denklemine koyduğumuzda şunu elde ederiz:

Denklem gerilim formunda yazıldığında ve her iki tarafın Laplace dönüşümü alındığında, tüm başlangıç koşullarının sıfır olduğu varsayılarak, aşağıdaki denklem elde edilir:

Transfer fonksiyonunu çözmek için terimleri yeniden düzenlediğimizde:

Bu transfer fonksiyonu, frekans domaindeki giriş voltajına yanıt olarak kapasitördeki gerilimi gösterir. Dirençle benzer ancak kapasitörler ve indüktörler için geçerli olan empedans, transfer fonksiyonunu oluşturmada önemli bir rol oynar. Ek olarak, Kirchhoff Akım Yasası (KCL) da nodal analiz yoluyla transfer fonksiyonlarını türetmek için kullanılabilir. Bu yasa, bir düğüme giren akımların toplamının, düğümden çıkan akımların toplamına eşit olması gerektiğini belirtir. RLC devresinde, toplam akım, kapasitörden geçen akım ile direnç ve indüktörün seri kombinasyonundan geçen akımın toplamıdır. KCL uygulanarak ve basitleştirilerek aynı transfer fonksiyonu elde edilebilir.

KVL ve KCL, devre analizinde güçlü araçlardır ve frekans domaindeki elektrik ağlarının dinamik davranışını özlü bir şekilde tanımlayan transfer fonksiyonlarının türetilmesini sağlar. Bu yöntemler, çeşitli uygulamalardaki karmaşık devrelerin tasarımı ve analizi için önemlidir.