21.2 : الأنظمة الكهربائية

في الهندسة الكهربائية، يُعدُّ تحليل الشبكات المكونة من مكونات خطية سلبية - المقاومات (R) والمكثفات (C) والمحثات (L) - أمرًا أساسيًا. يتم تنظيم هذه المكونات في دوائر حيث يمكن تحليل العلاقة بين المدخلات والمخرجات باستخدام دوال التحويل. يمكن اشتقاق دالة التحويل لدائرة RLC، التي تربط الجهد عبر المكثف بجهد الدخل، باستخدام قوانين كيرشوف.

لاشتقاق دالة التحويل، ضع في اعتبارك دائرة RLC مع توصيل المكونات على التوالي. ينص قانون كيرشوف للجهد (KVL) على أن مجموع جميع الفولتات حول حلقة مغلقة يساوي صفرًا. بالنسبة لدائرة RLC، يُترجم هذا إلى المعادلة التكاملية التفاضلية التالية، بافتراض شروط أولية صفرية:

هنا، V(t) هو جهد الدخل، VR(t)=i(t)R هو الجهد عبر المقاومة، VC(t) = q(t)/C هو الجهد عبر المكثف، حيث 𝑞(𝑡) هي الشحنة على المكثف، وVL(t) = L(di(t)/dt) هو الج هد عبر المحث.

يرتبط التيار 𝑖(𝑡) بالشحنة q(t) بواسطة i(t)=dq(t)/dt . بالتعويض بهذه العلاقات في معادلة KVL يعطي:

بكتابة المعادلة في شكل جهد، وأخذ تحويل لابلاس لكلا الجانبين، وافتراض أن جميع الشروط الأولية تساوي صفرًا، نحصل على المعادلة التالية:

إعادة ترتيب الحدود لحل دالة التحويل:

تمثل دالة التحويل هذه الجهد عبر المكثف استجابة لجهد الدخل في مجال التردد. تلعب المعاوقة، المشابهة للمقاومة ولكنها قابلة للتطبيق على المكثفات والمحاثات، دورًا رئيسيًا في تحديد دالة التحويل. بالإضافة إلى ذلك، يمكن أيضًا استخدام قانون كيرشوف للتيار (KCL) لاستنتاج دوال التحويل عبر التحليل العقدي. ينص هذا القانون على أن مجموع التيارات التي تدخل العقدة يجب أن يساوي مجموع التيارات التي تغادر العقدة. في دائرة RLC، يكون التيار الكلي هو مجموع التيار المار عبر المكثف والتيار المار عبر التركيبة التسلسلية للمقاوم والمحث. ومن خلال تطبيق KCL والتبسيط، يمكن تحقيق نفس دالة التحويل.

تعد KVL وKCL أدوات قوية في تحليل الدوائر، حيث تمكن من اشتقاق دوال التحويل التي تصف بإيجاز السلوك الديناميكي للشبكات الكهربائية في مجال التردد. تعد هذه الطرق ضرورية لتصميم وتحليل الدوائر المعقدة في تطبيقات مختلفة.