21.2 : Systemy elektryczne

W elektrotechnice analiza sieci złożonych z pasywnych elementów liniowych — rezystorów (R), kondensatorów (C) i cewek indukcyjnych (L) — ma podstawowe znaczenie. Elementy te są zorganizowane w obwody, w których związek między wejściem a wyjściem można analizować za pomocą funkcji przenoszenia. Funkcję przenoszenia obwodu RLC, która wiąże napięcie na kondensatorze z napięciem wejściowym, można wyprowadzić za pomocą praw Kirchhoffa.

Aby wyprowadzić funkcję przenoszenia, rozważ obwód RLC z elementami połączonymi szeregowo. Napięciowe prawo Kirchhoffa (KVL) stwierdza, że suma wszystkich napięć wokół zamkniętej pętli wynosi zero. W przypadku obwodu RLC przekłada się to na następujące równanie różniczkowo-integralne, przy założeniu zerowych warunków początkowych:

Tutaj V(t) to napięcie wejściowe, VR(t)=i(t)R to napięcie na rezystorze, VC(t) =q(t)/C to napięcie na kondensatorze, gdzie q(t) to ładunek na kondensatorze, a VL(t) = L(di(t)/dt) to napięcie na cewce.

Prąd i(t) jest powiązany z ładunkiem q(t) przez i(t)=dq(t)/dt. Podstawienie tych zależności do równania KVL daje:

Zapisując równanie w postaci napięcia i biorąc transformację Laplace'a obu stron, a zakładając, że wszystkie warunki początkowe są zerowe, otrzymujemy następujące równanie:

Przestawianie wyrazów w celu rozwiązania funkcji przejścia:

Ta funkcja przejścia reprezentuje napięcie na kondensatorze w odpowiedzi na napięcie wejściowe w dziedzinie częstotliwości. Impedancja, analogiczna do rezystancji, ale mająca zastosowanie do kondensatorów i cewek, odgrywa kluczową rolę w definiowaniu funkcji przejścia. Ponadto prawo Kirchhoffa (KCL) można również wykorzystać do wyprowadzenia funkcji przejścia za pomocą analizy węzłowej. Prawo to stanowi, że suma prądów wpływających do węzła musi być równa sumie prądów wypływających z węzła. W obwodzie RLC całkowity prąd jest sumą prądu płynącego przez kondensator i prądu płynącego przez szeregowe połączenie rezystora i induktora. Stosując KCL i upraszczając, można uzyskać tę samą funkcję przejścia.

KVL i KCL stanowią narzędzia w analizie obwodów, umożliwiające wyprowadzenie funkcji przejścia, które zwięźle opisują dynamiczne zachowanie sieci elektrycznych w dziedzinie częstotliwości. Metody te są niezbędne do projektowania i analizy złożonych obwodów w różnych zastosowaniach.