27.8 : Теорема Кастильяно: решение задач

Прогиб балки с простыми опорами, несущей центральную точечную нагрузку, можно проанализировать, используя принципы строительной механики, в частности, применив теорему Кастильяно. Эта теорема связывает смещение в точке приложения нагрузки с частными производными энергии деформации в конструкции. Просто опертая балка с точечной нагрузкой в ​​центре имеет симметричные силы реакции на опорах, каждая из которых несет половину нагрузки. Изгибающий момент в любой точке балки получается из этих реакций, рассчитанных по расстоянию от ближайшей опоры.

Теорема Кастильяно указывает, что прогиб в точке приложения нагрузки определяется путем дифференцирования энергии деформации балки по отношению к нагрузке. Энергия деформации рассчитывается на основе изгибающего момента вдоль балки, проинтегрированного по ее длине. Для этой балки энергия деформации при изгибе вычисляется на основе квадрата выражения изгибающего момента, проинтегрированного по половине длины балки.

Поскольку балка симметрична, это значение удваивается, чтобы учесть всю балку, и вычисляется прогиб в центре балки. Он зависит от величины нагрузки, куба длины балки и обратно пропорционален произведению момента инерции и модуля упругости поперечного сечения балки.