27.8 : Teorema de Castigliano: resolución de problemas

La deflexión de una viga simplemente apoyada que soporta una carga puntual central se puede analizar utilizando principios de mecánica estructural, particularmente aplicando el teorema de Castigliano. Este teorema relaciona el desplazamiento en el punto de aplicación de la carga con las derivadas parciales de la energía de deformación en la estructura. La viga simplemente apoyada con una carga puntual en su centro tiene fuerzas de reacción simétricas en los apoyos, cada uno de los cuales soporta la mitad de la carga. El momento flector en cualquier punto a lo largo de la viga se deriva de estas reacciones, calculadas sobre la distancia desde el soporte más cercano.

El teorema de Castigliano indica que la deflexión en el punto donde se aplica la carga se determina diferenciando la energía de deformación de la viga con respecto a la carga. La energía de deformación se calcula en función del momento flector a lo largo de la viga, integrado en su longitud. Para esta viga, la energía de deformación debida a la flexión se calcula a partir del cuadrado de la expresión del momento flector, integrada a lo largo de la mitad de la longitud de la viga.

Dado que la viga es simétrica, este valor se duplica para tener en cuenta toda la viga y se calcula la deflexión en el centro de la viga. Depende de la magnitud de la carga, el cubo de la longitud de la viga, e inversamente proporcional al producto del momento de inercia y el módulo elástico de la sección transversal de la viga.