27.8 : Teorema di Castigliano: Risoluzione dei problemi

La deflessione di una trave semplicemente appoggiata che trasporta un carico concentrato centrale può essere analizzata utilizzando i principi della meccanica strutturale, in particolare applicando il teorema di Castigliano. Questo teorema mette in relazione lo spostamento nel punto di applicazione del carico con le derivate parziali dell'energia di deformazione nella struttura. La trave semplicemente appoggiata con un carico concentrato al centro presenta forze di reazione simmetriche sui supporti, ciascuno dei quali sopporta metà del carico. Da queste reazioni si ricava il momento flettente in qualsiasi punto lungo la trave, calcolato sulla distanza dal supporto più vicino.

Il teorema di Castigliano indica che la freccia nel punto in cui è applicato il carico è determinata differenziando l'energia di deformazione della trave rispetto al carico. L'energia di deformazione viene calcolata in base al momento flettente lungo la trave, integrato sulla sua lunghezza. Per questa trave, l'energia di deformazione dovuta alla flessione viene calcolata dal quadrato dell'espressione del momento flettente, integrato lungo metà della lunghezza della trave.

Poiché la trave è simmetrica, questo valore viene raddoppiato per tenere conto dell'intera trave e viene calcolata la deflessione al centro della trave. Dipende dall'entità del carico, dal cubo della lunghezza della trave ed è inversamente proporzionale al prodotto del momento d'inerzia per il modulo elastico della sezione trasversale della trave.