Funkcja przejściowa jest podstawową koncepcją reprezentującą stosunek dwóch wielomianów. Licznik i mianownik odzwierciedlają dynamikę układu. Zera i bieguny tej funkcji przejścia są kluczowe dla określenia zachowania i stabilności układu.

Proste bieguny są unikalnymi pierwiastkami wielomianu mianownika. Każdy prosty biegun odpowiada odrębnemu rozwiązaniu charakterystycznego równania układu, co zwykle skutkuje wykładniczymi wyrazami zaniku w odpowiedzi układu.

Powtarzające się bieguny, występujące więcej niż raz w mianowniku, wskazują na bardziej złożone zachowanie układu. Te bieguny sugerują albo zachowanie oscylacyjne, albo wolniejsze tempo zaniku, co prowadzi do wyrazów obejmujących t^n e^σt w odpowiedzi w dziedzinie czasu, gdzie n jest wielokrotnością bieguna, a σ jest rzeczywistą częścią bieguna.

Złożone bieguny mają zarówno części rzeczywiste, jak i urojone, co skutkuje składowymi oscylacyjnymi w odpowiedzi układu. Te bieguny zwykle pojawiają się w parach sprzężonych, σ±jω, co prowadzi do odpowiedzi obejmujących człony sinusoidalne i cosinusoidalne modulowane przez wykładniczy rozpad, e^σt(cos(ωt)+jsin(ωt)).

Stabilność liniowego układu niezmienniczego w czasie (LTI) jest określana przez położenie jego biegunów w płaszczyźnie s. W przypadku stabilności „Bounded Input, Bounded Output” (BIBO) wszystkie bieguny muszą znajdować się w lewej półpłaszczyźnie (LHP), co zapewnia, że każda odpowiedź impulsowa zanika w czasie. Powtarzające się bieguny w LHP przyczyniają się do stabilności, ale z bardziej stopniowym rozpadem ze względu na zwiększony rząd odpowiedzi układu.

Odwrotnie, bieguny w prawej półpłaszczyźnie (RHP) prowadzą do niestabilności, ponieważ bieguny te powodują wykładniczy wzrost odpowiedzi układu, co skutkuje nieograniczonym wyjściem nawet dla ograniczonych danych wejściowych.

Prawidłowe funkcje wymierne mają stopień licznika mniejszy lub równy stopniowi mianownika i podlegają regułom stabilności podobnym do ściśle właściwych funkcji. Nieprawidłowe funkcje wymierne, w których stopień licznika przekracza stopień mianownika, z natury nie są stabilne BIBO. Dzieje się tak, ponieważ takie funkcje implikują, że wyjście może stać się nieograniczone dla ograniczonych sygnałów wejściowych, co narusza zasadę ograniczoności.

Podsumowując, bieguny funkcji przejścia, czy to prostej, powtarzalnej czy złożonej, są kluczowe dla zrozumienia odpowiedzi i stabilności układu. Położenie tych biegunów w płaszczyźnie s decyduje o tym, czy układ wykazuje stabilne zachowanie, czy staje się niestabilny, przy czym właściwe i niewłaściwe funkcje wymierne zapewniają dodatkowe warstwy stabilności.