La fonction de transfert est un concept fondamental représentant le rapport de deux polynômes. Le numérateur et le dénominateur englobent la dynamique du système. Les zéros et les pôles de cette fonction de transfert sont essentiels pour déterminer le comportement et la stabilité du système.

Les pôles simples sont des racines uniques du polynôme du dénominateur. Chaque pôle simple correspond à une solution distincte de l'équation caractéristique du système, ce qui se traduit généralement par des termes de décroissance exponentielle dans la réponse du système.

Les pôles répétés, apparaissant plus d'une fois dans le dénominateur, indiquent un comportement plus complexe du système. Ces pôles suggèrent soit un comportement oscillatoire, soit des taux de décroissance plus lents, ce qui conduit à des termes impliquant tt^n e^σt dans la réponse dans le domaine temporel, où n est la multiplicité du pôle et σ est la partie réelle du pôle.

Les pôles complexes ont à la fois des parties réelles et imaginaires, ce qui se traduit par des composantes oscillatoires dans la réponse du système. Ces pôles apparaissent généralement par paires conjuguées, σ±jω, ce qui conduit à des réponses impliquant des termes sinus et cosinus modulés par une décroissance exponentielle,

e^σt(cos(ωt)+jsin(ωt)).

La stabilité d'un système linéaire invariant dans le temps (LTI) est déterminée par l'emplacement de ses pôles dans le plan s. Pour la stabilité BIBO (Bounded Input, Bounded Output), tous les pôles doivent se trouver dans le demi-plan gauche (LHP), ce qui garantit la décroissance de chaque réponse impulsionnelle dans le temps. Les pôles répétés dans le LHP contribuent à la stabilité, mais avec une décroissance plus progressive en raison de l'ordre accru de la réponse du système.

À l'inverse, les pôles dans le demi-plan droit (RHP) conduisent à l'instabilité, car ces pôles entraînent une croissance exponentielle de la réponse du système, ce qui entraîne une sortie non bornée même pour des entrées bornées.

Les fonctions rationnelles propres ont un degré de numérateur inférieur ou égal au degré du dénominateur et suivent des règles de stabilité similaires aux fonctions strictement propres. Les fonctions rationnelles impropres, où le degré du numérateur dépasse le degré du dénominateur, ne sont pas intrinsèquement stables BIBO. En effet, de telles fonctions impliquent que la sortie peut devenir non bornée pour des signaux d'entrée bornés, violant ainsi le principe de borne.

En résumé, les pôles d'une fonction de transfert, qu'ils soient simples, répétés ou complexes, sont essentiels pour comprendre la réponse et la stabilité du système. L'emplacement de ces pôles dans le plan s détermine si le système présente un comportement stable ou devient instable, les fonctions rationnelles propres et impropres fournissant des niveaux de stabilité supplémentaires.