Die Übertragungsfunktion ist ein grundlegendes Konzept, das das Verhältnis zweier Polynome darstellt. Zähler und Nenner kapseln die Dynamik des Systems. Die Nullstellen und Pole dieser Übertragungsfunktion sind entscheidend für das Verhalten und die Stabilität des Systems.

Einfache Pole sind eindeutige Wurzeln des Nennerpolynoms. Jeder einfache Pol entspricht einer eindeutigen Lösung der charakteristischen Gleichung des Systems, was normalerweise zu Termen mit exponentieller Abnahme in der Systemantwort führt.

Wiederholte Pole, die mehr als einmal im Nenner auftreten, weisen auf ein komplexeres Systemverhalten hin. Diese Pole deuten entweder auf oszillierendes Verhalten oder langsamere Abklingraten hin, was zu Termen mit t^n e^σt in der Zeitbereichsantwort führt, wobei n die Multiplizität des Pols und σ der Realteil des Pols ist.

Komplexe Pole haben sowohl Real- als auch Imaginärteile, was zu oszillierenden Komponenten in der Systemantwort führt. Diese Pole treten typischerweise in konjugierten Paaren auf, σ±jω, was zu Reaktionen mit Sinus- und Cosinustermen führt, die durch eine exponentielle Abnahme moduliert werden,

e^σt(cos(ωt)+jsin(ωt)).

Die Stabilität eines linearen zeitinvarianten (LTI) Systems wird durch die Positionen seiner Pole in der s-Ebene bestimmt. Für die Stabilität von Bounded Input, Bounded Output (BIBO) müssen alle Pole in der linken Halbebene (LHP) liegen, um sicherzustellen, dass jede Impulsantwort mit der Zeit abnimmt. Wiederholte Pole in der LHP tragen zur Stabilität bei, jedoch mit einer allmählicheren Abnahme aufgrund der erhöhten Ordnung der Systemreaktion.

Umgekehrt führen Pole in der rechten Halbebene (RHP) zu Instabilität, da diese Pole ein exponentielles Wachstum der Systemreaktion verursachen, was selbst bei begrenzten Eingaben zu einer unbegrenzten Ausgabe führt.

Eigentlich rationale Funktionen haben einen Zählergrad, der kleiner oder gleich dem Nennergrad ist, und folgen Stabilitätsregeln, die streng echten Funktionen ähneln. Uneigentlich rationale Funktionen, bei denen der Zählergrad den Nennergrad überschreitet, sind von Natur aus nicht BIBO-stabil. Dies liegt daran, dass solche Funktionen implizieren, dass die Ausgabe bei begrenzten Eingabesignalen unbegrenzt werden kann, was das Prinzip der Beschränktheit verletzt.

Zusammenfassend sind die Pole einer Übertragungsfunktion – ob einfach, wiederholt oder komplex – entscheidend für das Verständnis der Reaktion und Stabilität des Systems. Die Position dieser Pole in der s-Ebene bestimmt, ob das System ein stabiles Verhalten aufweist oder instabil wird, wobei eigentliche und uneigentliche rationale Funktionen zusätzliche Stabilitätsebenen bieten.