23.1 : Transformation der ebenen Spannung

Die Untersuchung der Spannungstransformation ist wichtig, um zu verstehen, wie sich Spannungskomponenten innerhalb eines Materials, beispielsweise eines Würfels unter ebener Spannung, mit der Rotation ändern. Diese Änderung wird analysiert, indem ein prismatisches Element innerhalb des Würfels betrachtet wird. Wenn sich das Element dreht, ändern sich die Größe und Ausrichtung der auf das Element einwirkenden Spannungskomponenten–sowohl Normal als auch Scherspannungen—. Diese Änderung wird mithilfe trigonometrischer Funktionen des Drehwinkels quantifiziert, wobei die auf die Flächen des gedrehten Elements wirkenden Kräfte mit denen auf seinen ursprünglichen senkrechten Flächen in Beziehung gesetzt werden.

Die Gleichgewichtsgleichungen, die nur die Kräfte auf den senkrecht zu den Hauptachsen stehenden Flächen berücksichtigen (ohne die durch die Drehung entstehenden Kräfte auf den Dreiecksflächen), ermöglichen die Ableitung neuer Spannungskomponenten. Die Normal- und Scherspannungen werden in Form der ursprünglichen Spannungen neu ausgedrückt.

Ein neuer Ausdruck für die Normalspannung auf der gedrehten vertikalen Achse wird erhalten, indem der Drehwinkel in einem vorherigen Ausdruck durch einen neuen ersetzt wird.

Ein bemerkenswertes Ergebnis dieser Analyse ist, dass sich die Summe der Normalspannungen unabhängig von der Ausrichtung des kubischen Elements nicht ändert. Diese Invarianz verdeutlicht die isotrope Reaktion des Materials auf äußere Spannungen und ist entscheidend für die Vorhersage des Materialverhaltens unter verschiedenen Belastungsbedingungen. Zu verstehen, wie sich die Spannungskomponenten mit der Elementausrichtung verändern, ist entscheidend für die Vorhersage von Materialversagen und für die Entwicklung von Materialien und Strukturen, die gegenüber den einwirkenden Belastungen widerstandsfähiger sind.