16.2 : Экспоненциальный ряд Фурье

В обработке аудиосигналов экспоненциальный ряд Фурье играет решающую роль в синтезе звука, позволяя разбить сложные звуки на более простые компоненты. Этот процесс разложения является основополагающим при анализе и реконструкции музыкальных нот и других аудиосигналов. Экспоненциальный ряд Фурье выражает периодические сигналы как сумму комплексных экспонент как на положительных, так и на отрицательных гармонических частотах, предоставляя мощный инструмент для анализа сигналов.

Тождество Эйлера играет важную роль в этом контексте. Оно преобразует экспоненциальные члены в их эквивалентные косинусные и синусные компоненты.

Подставляя эти компоненты обратно в ряд Фурье, мы можем добиться более детального представления исходного сигнала. Это преобразование позволяет кратко выразить сигнал в терминах комплексных экспонент, упрощая анализ и синтез периодических сигналов.

Коэффициенты ряда Фурье, C_n, определяются путем интегрирования функции по одному периоду. Математически коэффициент C_n определяется следующим образом:

Где T — период сигнала, ω_0 — основная угловая частота, а n — номер гармоники. После вычисления этих коэффициентов и подстановки их обратно в ряд, функция может быть выражена как:

Это уравнение дает упрощённое представление исходной периодической функции в терминах ее гармонических компонентов.

Существуют три взаимосвязанные формы ряда Фурье: синусно-косинусная форма, амплитудно-фазовая форма и комплексная экспоненциальная форма. Эти формы предлагают различные перспективы и инструменты для анализа и синтеза сигналов. Синусно-косинусная форма использует тригонометрические функции, амплитудно-фазовая форма выделяет величину и фазу каждого частотного компонента, а комплексная экспоненциальная форма использует мощь комплексных чисел для более компактного представления.