16.2 : טור פורייה מעריכי

בעיבוד אותות שמע, לטור פורייה המעריכי (אקספוננציאלי) יש תפקיד חשוב בסינתזה של צלילים, והוא מאפשר לפרק צלילים מורכבים לרכיבים סינוסואידליים פשוטים יותר. תהליך הפירוק הזה מהווה בסיס לניתוח ושחזור של תווים מוזיקליים ושל אותות שמע אחרים. טור פורייה המעריכי מבטא אותות מחזוריים כסכום של איברים מעריכיים מרוכבים בתדרי הרמוניה חיוביים ושליליים, ומספק כלי רב עוצמה לניתוח אותות.

זהות אוילר היא מרכיב קריטי בהקשר הזה. היא ממירה את האיברים המעריכיים לרכיבי קוסינוס וסינוס שקולים.

על ידי הצבת הרכיבים הללו חזרה בטור פורייה, ניתן להשיג ייצוג מפורט יותר של האות המקורי. טרנספורמציה זו מאפשרת להביע את האות בצורה תמציתית במונחים של איברים מעריכיים מרוכבים, מה שמפשט את הניתוח וההרכבה של אותות מחזוריים.

מקדמי טור פורייה, C_n​, נקבעים על ידי אינטגרציה של הפונקציה לאורך תקופה אחת. מבחינה מתמטית, המקדם C_n נתון כך:

כאשר T הוא המחזור של האות, ω_0​ הוא תדר הזווית הבסיסי, ו-n הוא מספר ההרמוניה. לאחר חישוב המקדמים והצבתם חזרה בטור, ניתן להביע את הפונקציה כך:

משוואה זו מספקת ייצוג תמציתי של הפונקציה המחזורית המקורית במונחים של רכיבי ההרמוניה שלה.

ישנן שלוש צורות של טור פורייה הקשורות זו לזו: הצורה סינוס-קוסינוס, הצורה משרעת-מופע, והצורה המעריכית המרוכבת. צורות אלו מציעות פרספקטיבות שונות וכלים שונים לניתוח וסינתזה של אותות. הצורה סינוס-קוסינוס משתמשת בפונקציות טריגונומטריות, הצורה משרעת-מופע מדגישה את המשרעת והמופע של כל רכיב תדר, והצורה המעריכית המרוכבת מנצלת את העוצמה של המספרים המרוכבים לייצוג תמציתי יותר.