La transformée de Fourier est un outil mathématique essentiel dans le traitement du signal, qui permet la transformation des signaux du domaine temporel en leurs représentations dans le domaine fréquentiel. Parmi les nombreux éléments de ce domaine, certaines fonctions comme la fonction sinc, la fonction delta et les signaux exponentiels revêtent une importance significative en raison de leurs propriétés et implications uniques.

La fonction sinc, définie comme sinc(x) = sin(πx)/(πx), est particulièrement intéressante pour sa symétrie et son comportement à zéro. Elle atteint une valeur de un lorsque son argument est nul et présente une symétrie uniforme autour de l'axe des y. Cette fonction apparaît clairement dans le domaine fréquentiel comme la transformée de Fourier d'une impulsion rectangulaire. Une impulsion rectangulaire, caractérisée par son amplitude constante sur un intervalle spécifique, se transforme en une fonction sinc. La fonction sinc résultante est symétrique avec un pic prononcé à l'origine, et ses lobes diminuent en amplitude à mesure qu'ils s'éloignent du centre. Cette transformation montre qu'une impulsion rectangulaire dans le domaine temporel est composée d'une série infinie de fréquences harmoniques.

La fonction delta, ou fonction delta de Dirac, est un autre élément essentiel dans l'étude des transformées de Fourier. Elle est définie comme nulle partout sauf à zéro, où elle est infiniment grande de sorte que son intégrale sur toute la ligne réelle est égale à un. La transformée de Fourier d'une fonction delta donne une valeur constante sur toutes les fréquences, ce qui indique que la fonction delta englobe toutes les fréquences de même amplitude. Cette propriété fait de la fonction delta un outil essentiel pour l'analyse et la synthèse des signaux, car elle sert de base à la construction d'autres fonctions par convolution.

Les signaux exponentiels, représentés par des fonctions à valeurs complexes de la forme e^jωt, sont fondamentaux pour décrire les oscillations sinusoïdales à des fréquences spécifiques. Lorsqu'un signal exponentiel subit une transformation de Fourier, le résultat est une impulsion unique à la fréquence correspondante dans le domaine fréquentiel. Cette transformation met en évidence le contenu en fréquence pure du signal exponentiel, illustrant le fait qu’il est constitué d'une seule composante de fréquence sans aucune harmonique.