27.7 : Théorème de Castigliano

Le théorème de Castigliano analyse les déplacements et les rotations dans les structures élastiques. Il relie la dérivée de l'énergie de déformation élastique aux forces ou moments appliqués, permettant le calcul des déformations. Le théorème stipule que la dérivée partielle de l'énergie de déformation totale d'un système par rapport à une charge spécifique entraîne le déplacement au point où la charge est appliquée. Ce principe s'applique à la fois aux forces et aux moments.

L'énergie de déformation, qui mesure le travail effectué par les charges externes lors de la déformation élastique, est cruciale pour ces calculs. Dans des conditions telles que des poutres avec des sections transversales non-uniformes ou des chargements complexes, la déflexion en tout point peut être dérivée à l'aide du théorème de Castigliano en différenciant l'énergie de déformation par rapport à la charge.

De même, pour les éléments structurels tels que les arbres subissant une déformation en torsion due au couple appliqué, l'angle de torsion peut être déterminé en utilisant la même méthode. L'énergie de déformation due à la torsion tient compte des propriétés du matériau et des attributs géométriques de l'arbre.

Grâce au théorème de Castigliano, le comportement des structures sous diverses conditions de chargement est prédit, contribuant ainsi à la conception de systèmes plus efficaces et plus sûrs. Ce théorème améliore la compréhension des réponses structurelles et facilite l'optimisation des conceptions structurelles.