23.5 : L’état de contrainte générale

L'état général de contrainte au sein d'un matériau peut être représenté avec précision à l'aide d'un tenseur de contrainte. Ce tenseur encapsule les forces internes répartis au sein d'un matériau soumis à des forces ou déformations externes.

Plus précisément, considérons un élément tétraédrique où une face, étiquetée XYZ, est perpendiculaire à la ligne OA et les faces restantes s'alignent sur les axes de coordonnées avec le point O comme origine. À tout moment, comme le point O, le tenseur des contraintes peut être utilisé pour déterminer les composantes des contraintes sur n'importe quel plan passant par O. Ce tenseur est important pour comprendre comment les matériaux réagissent dans diverses conditions de chargement en fractionnant les forces en composantes normales et de cisaillement sur les faces du tétraèdre.

Les aires des faces alignées par coordonnées du tétraèdre sont calculées en multipliant l'aire de la face XYZ par les cosinus directeurs λ_x, λ_y, et λ_z de la droite OA. Ces cosinus relient l'orientation de la face aux axes de coordonnées, facilitant ainsi la résolution des forces, essentielle à la conception des matériaux et de la structure. La condition d'équilibre, selon laquelle la somme de toutes les forces le long de OA est égale à zéro, conduit à l'équation de contrainte normale exprimée sous une forme quadratique avec des cosinus directeurs.

Cette forme identifie les axes principaux de contrainte. Si un nouveau système de coordonnées est défini sur la base des cosinus directionnels, les termes de contrainte de cisaillement disparaissent, simplifiant ainsi le tenseur des contraintes. Ces axes définissent les plans principaux où les contraintes de cisaillement disparaissent et les contraintes normales, appelées contraintes principales, sont maximisées. Comprendre ces composantes de contraintes est essentiel pour prédire les modes de défaillance des matériaux et améliorer la conception structurelle.