24.4 : Propiedades del lugar de las raíces

El método del lugar de las raíces es una herramienta invaluable para analizar sistemas de orden superior sin necesidad de factorizar el denominador de la función de transferencia. Se identifica un polo del sistema cuando el polinomio característico en el denominador de la función de transferencia es igual a cero.

Para determinar si un punto se encuentra en el lugar de las raíces, el criterio implica la suma de los ángulos que aportan todos los polos y ceros a ese punto. En concreto, esta suma debe ser un múltiplo impar de 180 grados. La ganancia en cualquier punto del lugar de las raíces se obtiene dividiendo el producto de las longitudes de los polos al punto por el producto de las longitudes de los ceros al punto.

En el caso de un sistema con retroalimentación unitaria, la función de transferencia se puede analizar mediante este método. El ángulo en un punto específico del lugar de las raíces se calcula sumando los ángulos desde los ceros y los polos del sistema hasta ese punto. Para verificar si un punto forma parte del lugar de las raíces, esta suma debe ser igual a un múltiplo impar de 180 grados.

Una vez que se confirma que un punto se encuentra en el lugar de las raíces, la ganancia en ese punto se puede determinar comparando las distancias desde los polos y ceros del sistema hasta el punto. Esto implica calcular el producto de las distancias desde cada polo hasta el punto y dividirlo por el producto de las distancias desde cada cero hasta el punto.

Este método es particularmente útil en el diseño y análisis de sistemas de control, ya que permite a los ingenieros predecir cómo los cambios en los parámetros del sistema afectan la estabilidad y la respuesta. Al comprender el lugar geométrico de las raíces, los ingenieros pueden diseñar sistemas que mantengan las características de rendimiento deseadas, lo que garantiza la estabilidad en una variedad de condiciones de funcionamiento.

En resumen, el método del lugar de las raíces proporciona un enfoque sistemático para analizar sistemas de orden superior, centrándose en los ángulos y las distancias desde los polos y los ceros hasta un punto determinado. Esta técnica ayuda a confirmar la estabilidad y el rendimiento de un sistema con ganancias variables, lo que la convierte en una herramienta esencial en el diseño y el análisis de sistemas de control.