19.5 : Transformada Z inversa por expansión de fracciones parciales

La transformada Z inversa es una técnica crucial para convertir una función de su representación en el dominio z al dominio del tiempo. Un método eficaz para encontrar la transformada Z inversa es el método de fracciones parciales, que implica descomponer una función en fracciones más simples con coeficientes distintos. Estas fracciones corresponden a pares de transformadas Z conocidos, lo que facilita el proceso de transformación inversa.

Para comenzar el proceso, se identifican los polos de la función y la función se expresa en términos de estos polos. Cada polo contribuye con un término a la descomposición en fracciones parciales. Los coeficientes para cada término en la descomposición se determinan evaluando los residuos en cada polo.

Una vez que se determinan los coeficientes, la función se vuelve a ensamblar en su forma descompuesta, lo que hace que sea más sencillo trabajar con ella. Luego, la transformada Z inversa se aplica a cada término fraccionario por separado. El resultado combina funciones delta, secuencias exponenciales y funciones escalonadas que representan la secuencia original en el dominio del tiempo.

Al utilizar el método de fracciones parciales, la transformada z inversa de funciones complejas se vuelve más manejable, lo que permite una conversión precisa al dominio del tiempo. Este método garantiza que cada componente de la función descompuesta se transforme correctamente, lo que da como resultado una reconstrucción precisa de la secuencia original.