23.7 : Routh-Hurwitz-Kriterium II

Bei der Anwendung des Routh-Hurwitz-Kriteriums können zwei spezielle Szenarien auftreten, die die Stabilitätsanalyse erschweren.

Das erste Szenario tritt ein, wenn in der ersten Spalte der Routh-Tabelle eine einzelne Null erscheint. Diese Situation führt zu Problemen mit der Division durch Null. Um dies zu lösen, wird die Null durch eine kleine positive oder negative Zahl ersetzt, die als Epsilon (ε) bezeichnet wird. Die Stabilitätsanalyse wird fortgesetzt, indem ein Vorzeichen für ε angenommen wird. Wenn ε positiv ist, weist jede Vorzeichenänderung in der ersten Spalte der Routh-Tabelle darauf hin, dass das System instabil ist und sich zwei Pole in der rechten Hälfte der s-Ebene befinden. Umgekehrt wird, wenn ε negativ ist, dieselbe Schlussfolgerung der Instabilität gezogen.

Das zweite Szenario tritt auf, wenn eine ganze Zeile in der Routh-Tabelle ausschließlich aus Nullen besteht. Dieses Vorkommen lässt darauf schließen, dass das ursprüngliche Polynom ein gerades Polynom als Faktor hat. Um dies zu beheben, wird ein Hilfspolynom unter Verwendung der Koeffizienten aus der Zeile über der Nullzeile erstellt. Dieses Hilfspolynom wird dann differenziert und die Koeffizienten aus der Ableitung ersetzen die Nullen in der Routh-Tabelle. Ab diesem Punkt wird das Standardverfahren zum Erstellen der verbleibenden Routh-Tabelle fortgesetzt.

Wenn gerade und ungerade Polynome getrennt behandelt werden, wird die Gesamtzahl der Pole in der rechten Hälfte der s-Ebene durch die Summierung der in den Routh-Tabellen der geraden und ungeraden Polynome gefundenen Pole bestimmt. Diese Methode gewährleistet eine umfassende Analyse der Stabilität des Systems.

Diese Sonderfälle im Routh-Hurwitz-Kriterium sind für die genaue Bestimmung der Stabilität eines Systems von entscheidender Bedeutung. Durch sorgfältige Handhabung von Nullen in der ersten Spalte und in den Nullzeilen können Ingenieure Fehlinterpretationen der Systemstabilität vermeiden. Dieser Ansatz ermöglicht eine präzise Identifizierung der Pole der rechten Hälfte der s-Ebene und gewährleistet so eine robuste und zuverlässige Systemkonstruktion und -analyse.