28.1 : İletim Hattı Diferansiyel Denklemleri

İletim hatları elektrik güç sistemlerinin temel bileşenleridir. Birim uzunluk başına direnç (R), endüktans (L) ve kapasitansın (C) dağıtılmış yapısı ile karakterize edilirler. Bu hatları analiz etmek için, hat boyunca voltaj ve akımdaki değişimleri modellemek için diferansiyel denklemler kullanılır.

Hat Kesit Modeli

Δ_x uzunluğunda bir hat bölümünü temsil eden bir devre, iletim hattı parametrelerini anlamada yardımcı olur. Voltaj V(x) ve akım i(x) alıcı uçtan ölçülür. Hattın birim uzunluk başına z=R+jωL seri empedansı ve birim uzunluk başına y=G+jωC şönt admitansı vardır. Bu kuruluma Kirchhoff'un Voltaj Yasası'nı (KVL) ve Kirchhoff'un Akım Yasası'nı (KCL) uygulayarak, hat boyunca voltaj ve akım değişimleri için ilişkiler türetin.

Δ_x sıfıra yaklaştıkça, bu ilişkiler doğrusal, birinci dereceden, homojen diferansiyel denklemlere dönüşür

Bu diferansiyel denklemler ise gerilim ve akımın iletim hattının uzunluğu boyunca nasıl değiştiğini açıklar.

Bu diferansiyel denklemleri çözmek, hem seri empedansın hem de şönt admitansının etkilerini kapsayan yayılma sabiti γ'yi belirlemeyi içerir. Hat boyunca voltaj ve akım için genel çözümler, alıcı uçtaki sınır koşulları kullanılarak değerlendirilen iki entegrasyon sabitini içerir.

Karakteristik empedans Z_c, iletim hattının içsel empedansını yansıtan önemli bir parametredir. Diferansiyel denklemlerin çözümlerini kullanarak, hat boyunca voltaj ve akım, voltaj ve akım dağılımını modellemek için kullanılan matematiksel fonksiyonlar olan hiperbolik fonksiyonlar, cosh (kosinüs hiperbolik) ve sinh (sinüs hiperbolik) cinsinden ifade edilir.

ABCD Parametreleri

ABCD parametreleri veya iletim hattı sabitleri, bu hiperbolik fonksiyonlardan türetilir. Bu parametreler, hat boyunca herhangi bir noktadaki voltaj ve akımı alıcı uçtaki değerlerle ilişkilendiren bir matris gösterimi sağlar. ABCD parametreleri, sinyallerin iletim hattı boyunca nasıl yayıldığını anlamak için çok önemlidir.

Yayılma Sabiti

Yayılma sabiti γ, sırasıyla zayıflama ve faz kaymasını temsil eden gerçek ve sanal parçalara sahip karmaşık bir niceliktir. Bu sabit, hat uzunlugu ile çarpıldığında boyutsuz hale gelir ve voltaj ve akım dağılımını tanımlayan hiperbolik fonksiyonları değerlendirmek için önemlidir.

Kesin ABCD parametreleri herhangi bir hat uzunluğu için geçerlidir ve iletim hattı davranışı için kesin bir çözüm sunar. Kısa ve orta uzunluktaki hatları içeren pratik el hesaplamaları için, yaklaşımlar kullanılabilir. Bu parametreler çeşitli çalışma koşulları altında iletim hatlarını kapsamlı bir şekilde analiz ederek verimli ve güvenilir güç iletimi sağlar.