16.3 : Fourier Serisinin Özellikleri I

Fourier serisi, sinyal işleme ve iletişimde güçlü bir araçtır, periyodik sinyallerin sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının toplamları olarak ifade edilmesini sağlar. Fourier serisinin temel özelliklerinden biri doğrusallıktır. İki periyodik sinyali ele alırsak, bunların doğrusal birleşimi, Fourier katsayıları orijinal sinyallerin katsayılarının karşılık gelen doğrusal bileşimleri olan yeni bir sinyal oluşturur. Bu özellik, birden fazla sinyalin aynı kanal üzerinden parazit olmadan iletilebildiği frekans modülasyonlu (FM) radyo gibi uygulamalarda çok önemlidir.

Periyodik bir sinyalin zaman kaydırılması, Fourier katsayılarının büyüklüğünü değiştirmez. Bu değişmezlik, sinyalin temel özelliklerinin kaymaya rağmen bozulmadan kaldığını gösterir. Örneğin, radyo yayıncılığında, bu özellik bir sinyalin zaman içinde kaydırılmasının kalitesini etkilemesini önler. Matematiksel olarak, x(t) t_0, kadar kaydırılırsa yeni x(t−t_0,) sinyali e^-jωt X(jω) Fourier katsayılarına sahiptir, burada X(jω) orijinal katsayılardır. Büyüklüğü ∣X(jω)∣ değişmeden kalır.

Zaman tersine çevirme, bir sinyalin Fourier serisi katsayılarının dizisinin de zaman tersine çevrildiği başka bir önemli özelliktir. Bir x(t) sinyali için, zaman tersine çevrilmiş versiyonu x(−t), orijinal katsayıların karmaşık eşleniği olan X(−jω) Fourier katsayılarına sahip olacaktır. Bu özellik, özellikle evrişim işlemlerinde dijital sinyal işlemede yaygın olarak kullanılır ve sinyallerin matematiksel manipülasyonunu basitleştirir.

Sinyallerdeki simetri, Fourier katsayılarını da etkiler. x(t) = x(−t)'yi sağlayan çift bir sinyalin gerçek ve çift Fourier katsayıları vardır. Tersine, x(t) = −x(−t) olan tek bir sinyalin tamamen sanal ve tek katsayıları vardır. Bu simetri özellikleri, sinyallerin analizini ve sentezini kolaylaştırır.

Özetle, Fourier serisinin özellikleri - doğrusallık, zaman kaydırma değişmezliği, zaman tersine çevirme ve simetri - çeşitli uygulamalarda, özellikle sinyal kalitesini artırmada ve iletişim ve yayıncılıkta sinyal işleme görevlerini kolaylaştırmada temeldir.