23.6 : Критерий Рауса-Гурвица I

Рассмотрим электрическую сеть, где стабильность необходима для предотвращения отключений электроэнергии. Критерий Раута-Гурвица является ценным инструментом для оценки стабильности системы в условиях изменяющейся нагрузки или неисправностей. Анализируя передаточную функцию замкнутого контура, критерий Раута-Гурвица помогает определить, остается ли система стабильной.

Для применения критерия Рауса-Гурвица строится таблица Рауса. Строки таблицы помечены степенями комплексной частотной переменной s, начиная с самой высокой степени. Переменная s представляет собой комплексное число, обычно в форме

где σ — действительная часть, а jω — мнимая часть. Первая строка заполняется горизонтально каждым вторым коэффициентом многочлена знаменателя, начиная с наибольшей степени. Затем вторая строка заполняется пропущенными коэффициентами из первой строки.

Последующие записи в таблице Рауса вычисляются с использованием определителей предыдущих строк. В частности, каждая запись определяется путем взятия отрицательного определителя двух записей над ней и деления его на первую запись в столбце непосредственно над ней. Этот процесс продолжается до тех пор, пока вся таблица не будет заполнена.

Для иллюстрации рассмотрим систему, для которой вычисляются строки таблицы Рауса. При необходимости каждая строка масштабируется независимо на положительную константу для упрощения вычислений. Согласно критерию Рауса-Гурвица, количество корней многочлена в правой половине s-плоскости соответствует количеству изменений знака в первом столбце таблицы Рауса. Эти изменения знака указывают на нестабильность.

И наоборот, система стабильна, если все полюса находятся в левой половине s-плоскости, то есть в первом столбце таблицы Рауса нет изменений знака. Обеспечение отсутствия изменений знака подтверждает, что система останется стабильной в различных условиях использования.

Понимание и применение критерия Раута-Гурвица имеет решающее значение для поддержания стабильности сложных систем, таких как электросети. Проверяя, что все полюса расположены в левой половине s-плоскости, инженеры могут гарантировать, что система будет работать надежно, предотвращая такие проблемы, как отключения электроэнергии, и обеспечивая бесперебойную подачу электроэнергии. Этот метод обеспечивает системный подход к анализу стабильности, выявляя и смягчая потенциальную нестабильность в системе.