22.5 : Regra de Mason

A regra de Mason é uma ferramenta poderosa em sistemas de controle e processamento de sinais. Ela simplifica o cálculo de funções de transferência a partir de gráficos de fluxo de sinal. Este método alavanca vários elementos, incluindo ganhos de loop, ganhos de caminho direto e loops não-tocantes, para determinar a função de transferência eficientemente.

O ganho de loop é determinado pela identificação e rastreamento de um caminho de um nó de volta para si. Isso envolve calcular o produto de ganhos de ramificação ao longo do loop. O ganho de cada loop é crucial para cálculos posteriores e contribui para o comportamento geral do sistema.

O ganho do caminho direto é calculado rastreando um caminho do nó de entrada para o nó de saída. Como o ganho de loop, ele envolve o produto dos ganhos ao longo deste caminho. Os caminhos diretos representam a influência direta da entrada na saída e são essenciais para determinar a função de transferência.

Os loops não-tocantes são loops no gráfico de fluxo de sinal que não compartilham nenhum nó comum. O ganho de loops não-tocantes é o produto dos ganhos de loop individuais. Esses loops não-tocantes são significativos por afetarem o cálculo do determinante, delta (Δ), usado na regra de Mason.

Delta (Δ) é derivado de uma série alternada de somas envolvendo ganhos de loop e os ganhos de loops não-tocantes tomados dois ou mais de cada vez. Matematicamente, pode ser expresso como:

Δk é uma versão modificada de Δ, excluindo ganhos de loop que cruzam com o k-ésimo caminho direto. Essa exclusão é crucial para determinar com precisão a função de transferência do sistema.

Para calcular a função de transferência de um sistema usando a regra de Mason, as seguintes etapas são usadas:

1. Identifique todos os ganhos do caminho direto (T_k) da entrada para a saída.
2. Avalie todos os ganhos de loop (L_i) e identifique loops não-tocantes.
3. Calcule Δ somando e subtraindo os produtos dos ganhos de loop e ganhos de loop não tocantes, conforme descrito.
4. Para cada caminho direto, calcule Δ_k excluindo os ganhos de loop de intersecção.
5. Substitua esses valores na regra de Mason, dada por:

Por meio dessas etapas, a regra de Mason fornece uma abordagem organizada e sistemática para derivar a função de transferência de sistemas complexos, tornando-a indispensável na teoria de controle e no processamento de sinais.