22.5 : قاعدة ماسون

قاعدة ماسون هي أداة قوية في أنظمة التحكم ومعالجة الإشارات. فهي تبسط حساب وظائف النقل من الرسوم البيانية لتدفق الإشارات. وتستفيد هذه الطريقة من عناصر مختلفة، بما في ذلك مكاسب الحلقة ومكاسب المسار الأمامي والحلقات غير الملامسة، لتحديد وظيفة النقل بكفاءة.

يتم تحديد مكسب الحلقة من خلال تحديد مسار من عقدة إلى أخرى وتتبعه. يتضمن هذا حساب حاصل مكاسب الفروع على طول الحلقة. يعد مكسب كل حلقة أمرًا بالغ الأهمية لإجراء المزيد من الحسابات ويساهم في سلوك النظام الإجمالي.

يتم حساب مكسب المسار الأمامي من خلال تتبع مسار من عقدة الإدخال إلى عقدة الإخراج. ومثل مكسب الحلقة، فإنه يتضمن حاصل ضرب المكاسب على طول هذا المسار. تمثل المسارات الأمامية التأثير المباشر للإدخال على الإخراج وهي ضرورية لتحديد دالة النقل.

الحلقات غير الملامسة هي حلقات في مخطط تدفق الإشارة لا تشترك في أي عقدة مشتركة. إن مكسب الحلقات غير الملامسة هو حاصل ضرب مكاسب الحلقات الفردية. هذه الحلقات غير الملامسة مهمة لأنها تؤثر على حساب المحدد، دلتا (Δ)، المستخدم في قاعدة ماسون.

يتم اشتقاق دلتا ,(Δ) من سلسلة متناوبة من المجاميع التي تتضمن مكاسب الحلقة ومكاسب الحلقات غير المتلامسة التي أخذها مرتين أو أكثر في وقت واحد. ويمكن التعبير عنها رياضيًا على النحو التالي:

Δ_k هي نسخة معدلة من Δ، باستثناء مكاسب الحلقة التي تتقاطع مع المسار الأمامي k. يعد هذا الاستبعاد أمرًا بالغ الأهمية لتحديد دالة نقل النظام بدقة.

لحساب دالة النقل لنظام باستخدام قاعدة ماسون، يتم استخدام الخطوات التالية:

1. قم بتحديد جميع مكاسب المسار الأمامي (T_k) من المدخل إلى المخرج.
2. قم بتقييم جميع مكاسب الحلقة (L_i) وحدد الحلقات غير الملامسة.
3. احسب Δ عن طريق جمع وطرح حاصل ضرب مكاسب الحلقة ومكاسب الحلقة غير المتلامسة كما هو موضح.
4. بالنسبة لكل مسار أمامي، احسب Δ_k عن طريق استبعاد مكاسب الحلقة المتقاطعة.
5. استبدل هذه القيم في قاعدة ماسون، كما هو موضح بواسطة:

ومن خلال هذه الخطوات، توفر قاعدة ماسون نهجًا منظمًا ومنهجيًا لاستنباط دالة النقل للأنظمة المعقدة، مما يجعلها لا غنى عنها في نظرية التحكم ومعالجة الإشارات.