Na engenharia estrutural, a estabilidade dos pilares sob cargas axiais compressivas é uma consideração crítica, descrita como flambagem. Um exemplo típico envolve uma coluna PQ, que é conectada por pinos em ambas as extremidades e sujeita a uma carga axial centrada F aplicada em uma extremidade, com uma força de reação de F' = -F na outra extremidade. Aqui, é crucial compreender que quando uma carga aplicada excede a carga crítica, a flambagem ocorre à medida que o sistema se torna instável.

Para calcular a carga crítica, imagine o pilar PQ como uma viga vertical. Considere o ponto O, situado na curva elástica da viga, a uma distância x da extremidade livre P. Com a aplicação da carga, o ponto O é desviado por uma distância y da sua posição vertical original. Neste ponto, o momento fletor no ponto O pode ser descrito pela segunda derivada de sua deflexão, y, em relação a x, simbolizando um pivô para a compreensão do comportamento da viga sob tensão.

Onde f é definido como,

Esta equação tem uma solução geral com termos de seno e cosseno. Os valores de contorno do sistema fornecem os coeficientes da solução.

A solução requer que o termo seno seja igual a zero, fornecendo a expressão para carga crítica. Essa expressão é conhecida como fórmula de Euler.

Substituir a fórmula de Euler de volta na equação diferencial fornece a expressão para a curva elástica do pilar após a flambagem.

Aqui, é importante notar que a fórmula de Euler é derivada das suposições de que antes do carregamento, o pilar é perfeitamente reto, homogêneo e isotrópico e que a carga axial é aplicada perfeitamente ao longo do eixo vertical.