16.1 : Momenty i iloczyn bezwładności

Obliczenie momentu bezwładności elementu różnicowego w bryle sztywnej polega na pomnożeniu masy elementu przez kwadrat minimalnej odległości od którejkolwiek z trzech osi współrzędnych do tego elementu. Jest to proces, który można rozszerzyć na całą masę ciała, po prostu całkując wyrażenie i ustalając w ten sposób moment bezwładności ciała.

Ten sam proces można zastosować do określenia momentu bezwładności w stosunku do pozostałych dwóch osi. Należy zauważyć, że moment bezwładności jest zawsze dodatni.

Ponadto istnieje również iloczyn bezwładności związany z elementem różniczkowym i parą prostopadłych płaszczyzn. Definiuje się to jako pomnożenie masy elementu przez prostopadłą odległość od płaszczyzny do elementu. Całkując to po całej masie ciała, można obliczyć iloczyn bezwładności ciała.

Podobną analizę można przeprowadzić dla pozostałych dwóch płaszczyzn. W przeciwieństwie do momentu bezwładności iloczyn bezwładności może być dodatni, ujemny lub zerowy.

W przypadku ciał, w których rozkład masy jest symetryczny względem jednej lub obu ortogonalnych płaszczyzn, iloczyn bezwładności względem takich płaszczyzn będzie zawsze wynosić zero. Ta symetria odgrywa kluczową rolę w określaniu iloczynu bezwładności. Te obliczenia zapewniają wgląd w właściwości dynamiczne ciała sztywnego, podkreślając znaczenie zrozumienia pojęć momentu bezwładności i iloczynu bezwładności.