24.7 : לוקוס השורשים למערכות משוב חיובי

מתנד הארטלי הוא מערכת משוב חיובי השומרת על תנודות על ידי הזנת היציאה חזרה לכניסה בפאזה, ובכך מחזקת את האות. מערכות משוב חיובי ניתנות לצפייה כמערכות משוב שלילי עם אותות משוב הפוכים. במערכות אלו, לוקוס השורשים מקיף את כל הנקודות במישור ה-s שבהן זווית פונקציית העברת המערכת שווה ל-360 מעלות.

חוקי הבנייה ללוקוס השורשים במערכות משוב חיובי דומים לאלו של מערכות משוב שלילי. עם זאת, הבדל מרכזי הוא שבמערכות משוב חיובי, לוקוס השורשים קיים בציר הממשי משמאל למספר זוגי של קטבים ואפסים סופיים בלולאה הפתוחה.

כאשר לוקוס השורשים מתקרב לאינסוף, הוא עוקב אחר אסימפטוטות, שהן קווים ישרים בעלי שיפועים משתנים אך בעלי נקודות חיתוך זהות עם הציר הממשי. אסימפטוטות אלו מכוונות את מסלול לוקוס השורשים כאשר הם מתארכים לאינסוף.

במערכות עם משוב שלילי ורווח שלילי, עקרונות לוקוס השורשים נשארים עקביים. על ידי הזזת הרווח השלילי ימינה מעבר לנקודת הקליטה, המערכת מתנהגת למעשה כמערכת משוב חיובי. כתוצאה מכך, לוקוס השורשים נמצא משמאל למספר זוגי של קטבים או אפסים סופיים בלולאה הפתוחה ומכסה את כל ההרחבה החיובית של הציר הממשי במרווחים מוגדרים.

כדי לשרטט את לוקוס השורשים בצורה מדויקת, יש לקבוע את נקודות החיתוך והזוויות שבהן לוקוס השורשים עוזבים או מתקרבים לציר הממשי. נקודות וזוויות אלו מחושבות בהתבסס על הקטבים והאפסים של המערכת. תרשים לוקוס השורשים המתקבל מספק ייצוג חזותי של יציבות המערכת ושל מאפייני התגובה שלה כשהרווח משתנה.

לסיכום, מתנד הארטלי מדגים כיצד מערכות משוב חיובי משמרות תנודות באמצעות משוב המותאם לפאזה. שיטת ךוקוס השורשים, מותאמת למשוב חיובי, כוללת בניית לוקוס השורשים שמאלה ממספר זוגי של קטבים או אפסים בלולאה הפתוחה על ציר הממשי ומתארכת לאינסוף לאורך אסימפטוטות. ניתוח זה הוא חיוני להבנת ועיצוב מערכות תנודתיות יציבות ולהערכת התנהגותן תחת תנאי רווח שונים.