19.2 : Région de convergence

La transformée en z est un outil mathématique puissant utilisé dans l'analyse des signaux et des systèmes à temps discret. C'est un outil essentiel dans l'analyse des systèmes à temps discret, mais sa convergence est limitée à des valeurs spécifiques de la variable complexe z. Cette plage de valeurs, appelée région de convergence (ROC), est fondamentale pour déterminer le comportement et la stabilité d'un système ou d'un signal. La ROC définit la région dans le plan complexe où converge la transformée en z, qui peut prendre diverses formes telles que l'intérieur d'un cercle, l'extérieur d'un cercle ou l'intérieur d'un anneau.

Par exemple, considérons un signal discret à temps exponentiel x[n]. La transformée en z de ce signal forme une série géométrique, dont la ROC correspond à la région située à l'extérieur d'un cercle de rayon a, centré sur l'origine. L'emplacement de la ROC par rapport au cercle unité est essentiel pour évaluer la stabilité du système. Si la ROC inclut le cercle unité, le système est stable. Inversement, si la ROC se situe en dehors du cercle unité, le système est instable. Lorsque la ROC coïncide précisément avec le cercle unité, le système est considéré comme marginalement stable.

La transformée de Fourier à temps discret (DTFT) d'un signal n'existe que si la ROC de la transformée en z inclut le cercle unité. L'importance de la ROC s'étend également à la transformée en z inverse, qui est utilisée pour récupérer le signal temporel d'origine à partir de sa transformée en z. La ROC doit être soigneusement prise en compte dans ce processus, car la transformée en z ne converge pas aux pôles, qui sont exclus du ROC.

La compréhension de la ROC est essentielle non seulement pour garantir la convergence de la transformée en z, mais aussi pour analyser et prédire la stabilité et la réponse des systèmes à temps discret. En délimitant la région spécifique dans laquelle la transformée en z converge, la ROC aide à concevoir des systèmes stables et au comportement prévisible. L’influence de la ROC sur la transformée z inverse souligne son importance dans le traitement du signal, ce qui en fait un concept clé pour tous ceux qui manipulent des signaux et des systèmes à temps discret.