26.2 : Formule d'Euler pour les colonnes à broches

En ingénierie des structures, la stabilité des poteaux soumis à des charges axiales de compression est une considération critique, appelée flambage. Un exemple typique implique une colonne PQ, qui est reliée par des broches aux deux extrémités et soumise à une charge axiale centrée F appliquée à une extrémité, avec une force de réaction de F' = -F à l'autre extrémité. Ici, il est crucial de comprendre que lorsqu’une charge appliquée dépasse la charge critique, un flambage se produit lorsque le système devient instable.

Pour calculer la charge critique, considérez la colonne PQ comme une poutre verticale. Considérons le point O, situé sur la courbe élastique de la poutre, à une distance x de l'extrémité libre P. Avec l'application de la charge, le point O est dévié d'une distance y par rapport à sa position verticale d'origine. À ce stade, le moment de flexion au point O peut être décrit par la dérivée seconde de sa déflexion, y, par rapport à x, symbolisant un pivot vers la compréhension du comportement de la poutre sous contrainte.

Où f est défini comme,

Cette équation a une solution générale ayant des termes sinus et cosinus. Les valeurs limites du système donnent les coefficients de la solution.

La solution nécessite que le terme sinus soit nul, donnant l’expression de la charge critique. Cette expression est connue sous le nom de formule d’Euler.

La substitution de la formule d'Euler dans l'équation différentielle donne l'expression de la courbe élastique du poteau après flambage.

Ici, il est important de noter que la formule d’Euler est dérivée de l’hypothèse selon laquelle avant chargement, la colonne est parfaitement droite, homogène et isotrope et que la charge axiale est parfaitement appliquée le long de l’axe vertical.