15.3 : Propiedades de la transformada de Laplace - I

La transformada de Laplace es una poderosa herramienta matemática que se utiliza para convertir funciones del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia, simplificando enormemente el análisis y la solución de sistemas lineales invariantes en el tiempo. Esta transformación se ve facilitada por varias propiedades universales: linealidad, escala temporal, desplazamiento temporal y desplazamiento de frecuencia.

La propiedad de linealidad es fundamental para la transformada de Laplace. Establece que la transformada de una combinación lineal de funciones es equivalente a la misma combinación lineal de sus transformadas individuales. Matemáticamente, si f(t) y g(t) son funciones con transformadas de Laplace F(s) y G(s) respectivamente, y a y b son constantes, entonces la transformada de Laplace de af(t)+bg(t) es aF(s)+bG(s). Esta propiedad simplifica el proceso de transformación de funciones complejas, ya que cada componente puede transformarse individualmente antes de combinarse.

El escalamiento temporal es otra propiedad esencial. Indica que escalar una función por un factor constante a afecta a su transformada de Laplace de una manera no intuitiva. En concreto, si

f(t) tiene una transformada de Laplace F(s), entonces la transformada de Laplace de f(at) es 1/|a| F(s/a).

Esta propiedad demuestra cómo un cambio en la escala de tiempo de una función, ya sea compresión o expansión, se traduce en un ajuste correspondiente en el dominio de la frecuencia, lo que afecta a la forma en que se representa el comportamiento de la función a lo largo del tiempo.

El desplazamiento temporal es una propiedad clave que se utiliza cuando las funciones se retrasan o avanzan en el tiempo. Si f(t) se desplaza en t_0, formando f(t−t_0), su transformada de Laplace es e^(-(st_0)) F(s). Este factor exponencial refleja el desplazamiento en el tiempo dentro del dominio s, lo que proporciona un método sencillo para incorporar retrasos temporales en los análisis de sistemas.

Por último, el desplazamiento de frecuencia describe el efecto de multiplicar una función del dominio del tiempo por una función exponencial. Si f(t) se multiplica por e^at, su transformada de Laplace se convierte en F(s−a). Esto da como resultado un desplazamiento horizontal de la transformada en el dominio s, lo que ilustra cómo las características del dominio de la frecuencia se alteran mediante modificaciones exponenciales en el dominio del tiempo. En resumen, estas propiedades de la transformada de Laplace (linealidad, escala temporal, desplazamiento temporal y desplazamiento de frecuencia) ofrecen herramientas sólidas para manejar funciones y sistemas complejos, lo que facilita la transición del análisis en el dominio del tiempo al análisis en el dominio de la frecuencia.