24.5 : Konstruktion der Wurzelortskurve

Die Konstruktion einer Wurzelortskurve umfasst mehrere wichtige Schritte, um das Verhalten der Pole eines Systems bei unterschiedlicher Verstärkung zu analysieren und zu visualisieren. Die Anzahl der Zweige in der Wurzelortskurve entspricht der Anzahl der Pole im geschlossenen Kreislauf und ist symmetrisch zur reellen Achse.

Bei positiven Verstärkungswerten liegt die Wurzelortskurve auf der reellen Achse links von einer ungeraden Anzahl endlicher Pole oder Nullstellen im offenen Regelkreis. Die Wurzelortskurve beginnt an den Polen im offenen Regelkreis und folgt den Pfaden der Pole im geschlossenen Regelkreis, wenn die Verstärkung zunimmt. Sie endet an den Nullstellen im offenen Regelkreis, wo sich die Pole des Systems bei weiter steigender Verstärkung stabilisieren.

Wenn sich eine Funktion der Unendlichkeit nähert, während sich s der Unendlichkeit nähert, hat sie einen Pol im Unendlichen. Umgekehrt hat eine Funktion, die sich der Null nähert, eine Null im Unendlichen. Wenn sich der Wurzelort in Richtung Unendlich erstreckt, folgt er bestimmten Asymptoten. Die Gleichungen dieser Asymptoten werden durch den Schnittpunkt mit der reellen Achse und ihre Winkel bestimmt, die den Weg der Ortskurven von den Polen bis ins Unendliche angeben.

Um diese Pfade für ein gegebenes System zu berechnen, bestimmt man den Achsenabschnitt und die Winkel der Asymptoten. Die Winkel werden basierend auf der Anzahl der Pole und Nullen abgeleitet und wiederholen sich mit zunehmender Verstärkung. Die Formel für den Winkel der Asymptoten lautet:

wobei k eine ganze Zahl, n die Anzahl der Pole und m die Anzahl der Nullen ist.

Das vollständige Wurzelortskurvendiagramm beginnt an den offenen Polen und endet an den offenen Nullstellen. Dieses Diagramm befolgt die Regeln des Wurzelortskurvenverfahrens und stellt sicher, dass die Stabilität und Reaktion des Systems gründlich analysiert und vorhergesagt werden können.

Wenn Ingenieure diese Schritte befolgen, können sie das Wurzelortskurvenverfahren effektiv nutzen, um Steuerungssysteme zu entwerfen und abzustimmen und so die gewünschte Leistung und Stabilität unter verschiedenen Betriebsbedingungen sicherzustellen. Dieser Ansatz bietet eine klare Visualisierung der Migration der Systempole mit zunehmender Verstärkung und hilft so bei der robusten Entwicklung von Steuerungsstrategien.