26.2 : Eulers Formel für Spalten mit Pin-Enden

Im Hochbau ist die Stabilität von Stützen unter axialen Druckbelastungen ein entscheidender Faktor, der als Knickung bezeichnet wird. Ein typisches Beispiel ist eine Stütze PQ, die an beiden Enden bolzengebunden ist und an einem Ende einer zentrischen Axiallast F ausgesetzt ist, während am anderen Ende eine Reaktionskraft von F’ = -F wirkt. Hier ist es wichtig zu verstehen, dass es zu Knicken kommt, wenn eine aufgebrachte Last die kritische Last überschreitet, da das System instabil wird.

Um die kritische Belastung zu berechnen, stellen Sie sich die Stütze PQ als vertikalen Träger vor. Betrachten Sie Punkt O, der sich auf der elastischen Kurve des Balkens in einem Abstand x vom freien Ende P befindet. Durch das Aufbringen der Last wird Punkt O um einen Abstand y von seiner ursprünglichen vertikalen Position abgelenkt. An diesem Punkt kann das Biegemoment am Punkt O durch die zweite Ableitung seiner Auslenkung, y, in Bezug auf x beschrieben werden, was einen Dreh- und Angelpunkt für das Verständnis des Verhaltens des Balkens unter Belastung symbolisiert.

Wobei f definiert ist als:

Diese Gleichung hat eine allgemeine Lösung mit Sinus- und Kosinustermen. Die Randwerte des Systems geben die Koeffizienten der Lösung an.

Die Lösung erfordert, dass der Sinusterm Null ist, was den Ausdruck für die kritische Last ergibt. Dieser Ausdruck ist als Eulers Formel bekannt.

Wenn man die Eulersche Formel wieder in die Differentialgleichung einsetzt, erhält man den Ausdruck für die elastische Kurve der Stütze nach der Knickung.

Hier ist es wichtig zu beachten, dass die Euler-Formel auf der Annahme basiert, dass die Säule vor der Belastung vollkommen gerade, homogen und isotrop ist und dass die Axiallast perfekt entlang der vertikalen Achse aufgebracht wird.