גזירה בזמן, קונבולוציה, אינטגרציה ומחזוריות הם מושגים בסיסיים בניתוח פונקציות ואותות לאורך זמן. כל מושג מספק נקודת מבט ייחודית על אופן ההתפתחות, האינטראקציה והחזרה של פונקציות, ומעניק כלים חיוניים ליישומים מדעיים והנדסיים שונים.

גזירה בזמן עוסקת בניתוח קצב השינוי של פונקציה לאורך זמן. מבחינה מתמטית, מדובר בנגזרת של פונקציה ביחס לזמן. ניתן לדמות מושג זה למעקב אחר תאוצת מכונית; ככל שמהירות המכונית גדלה או קטנה, התאוצה מייצגת את קצב השינוי במהירות. במונחים פורמליים, אם (f(t מייצגת פונקציה של הזמן t, אז הנגזרת שלה (f′(t נותנת את קצב השינוי בכל נקודה בזמן. גזירה בזמן נפוצה בפיזיקה, הנדסה וכלכלה, כדי לדמות מערכות דינמיות ולחזות התנהגות עתידית.

קונבולוציה בזמן היא פעולה מתמטית המשלבת שני אותות על מנת ליצור אות שלישי, המשקף כיצד אות אחד משנה את השני לאורך זמן. פעולה זו חיונית בעיבוד תמונה וקול, והיא מסייעת לסנן אותות או ליצור אפקטים כמו הדהוד. מבחינה מתמטית, הקונבולוציה של שתי פונקציות (f(t ו-(g(t מוגדרת כך:

אינטגרל זה מסכם את מכפלת f בגרסה מוזחת בזמן של g, ומספק הבנה מקיפה של האינטראקציה ביניהן. הקונבולוציה חיונית גם בתורת המערכות ובעיבוד אותות, ומאפשרת ניתוח ותכנון של מסננים ומערכות.

אינטגרציה בזמן מתייחסת לתהליך של סכימה או צבירה של ערכי פונקציה לאורך זמן. הדבר דומה למדידת השטח הכולל מתחת לעקומה בגרף, שמייצג את הכמות המצטברת לאורך זמן. מבחינה מתמטית, אם (f(t היא פונקציה של זמן, האינטגרל שלה מהזמן 0 ועד אינסוף נתון כך:

האינטגרציה בזמן מהווה בסיס בעולם הפיזיקה לצורך חישוב כמויות כמו העתק ממהירות, ובכלכלה לחישוב עלות או הכנסה כוללת לאורך תקופה.

מחזוריות בזמן היא תכונה של פונקציה המאפשרת לה לחזור על ערכיה במרווחים או מחזורים קבועים. התנהגות זו דומה לתקתוק השעון הריתמי, שבו הדפוס חוזר בדיוק לאחר כל שעה. פונקציה (f(t היא מחזורית עם מחזור T אם מתקיים (f(t)=f(t+T עבור כל t. המחזוריות היא חיונית בתחומים כמו מוזיקה, תקשורת ופיזיקה, שבהם גלים ואותות מציגים לעיתים קרובות התנהגות מחזורית. הבנת פונקציות מחזוריות מסייעת בניתוח וחיזוי תופעות מחזוריות בתחומים אלו.

מושגים אלו מהווים את הבסיס לניתוח ולהבנת תופעות שתלויות בזמן במגוון תחומים מדעיים והנדסיים.